平方什么公式（平方和公式是怎么来的）

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1、数学归纳法可以证也可以如下做比较有技巧性n^2=n(n+1)-n1^2+2^2+3^2+......+n^2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3所以1*2+2*3+...+n(n+1)=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3[前后消项]=[n(n+1)(n+2)]/3所以1^2+2^2+3^2+......+n^2=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]=n(n+1)[(2n+1)/6]=n(n+1)(2n+1)/6================================================利用立方差公式n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n=2*n^2+(n-1)^2-n2^3-1^3=2*2^2+1^2-23^3-2^3=2*3^2+2^2-34^3-3^3=2*4^2+3^2-4......n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n各等式全相加n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/23(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)=(n/2)(n+1)(2n+1)1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6另外一个很好玩的做法想像一个有圆圈构成的正三角形，第一行1个圈，圈内的数字为1第二行2个圈，圈内的数字都为2，以此类推第n行n个圈，圈内的数字都为n，我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。

2、设这个数为r下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和1+2+……+n=n(n+1)/2于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6。

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