今日黎曼猜想是什么（黎曼流形）

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1、 黎曼几何是黎曼流形上的几何。黎曼流形指的是N维微分流形M，其上给出了黎曼度量G。也就是说，在微分流形M的每个坐标邻域(U，x)中，用一个正定对称二次微分来度量两个无限相邻点(x1，x2，…，xn)和(x1 dx1，x2 dx2，…，xn dxn)之间的距离。这里(gij)构成正定对称nn矩阵，假设gij(x)关于(xi)有一定的可微性，M上连接两点P和Q的曲线C:xi=xi(t)，通过积分计算出tb的长度l(C)。为了保证距离测量与坐标邻域的选择无关，要求gij满足二阶协变张量的变换律。在整体黎曼几何的语言中，微分流形M上给出了一个由分量gij确定的正定对称二阶协变张量场G，M，与G，即(M，G)称为N维黎曼流形，G称为度量张量或基本张量。由于历史原因，黎曼流形常被称为黎曼空间，但后者是局部的，即常指黎曼流形的开集或坐标邻域。

2、 g度量张量定义了一个内积gp(或& lt，& gt)在流形M的每个点P(x1，x2，…，xn)的切空间Tp(M)中计算切向量的长度和交角。即如果向量x，YTp(M)，并且，那么x的长度；x和y的夹角由0决定。如果cos=0，即x和y相互正交。=1向量称为单位向量，Tp(M)中两个正交单位向量组成的基称为正规正交基。对于任意点PM，总有N个单位向量场e1，e2，en在P的某个邻域内，使得在U的每个点上它们形成切空间的正规正交基，这N个局部向量场称为一个。利用局部正规正交标架研究黎曼几何的方法称为活动标架法。黎曼几何中的许多公式和几何量在活动标架下都有特别简单明了的表达。比如1，2，…，n是局部正规正交标架e1，e2，…，en的对偶形式，也叫对偶基，即N个一阶微分形式满足。因此，在基础{ei}下，测量表可以写成如下形式。

3、 任何仿紧微分流形总有黎曼度量，这些黎曼度量的数量非常多，但也不是完全任意的。微分流形的度量结构受其拓扑结构的制约，而这种制约是黎曼几何研究的重要内容，至今仍有许多未解决的问题。

4、 用计算曲线长度的方法，黎曼流形(m，g)上任意两点P，Q之间的距离d(P，Q)可以用m中所有连接P，Q的分段可微曲线的长度的下界来定义，即(连接P，Q的分段可微曲线c)。因此，M在上述距离上成为度量空间，可以证明由M导出的度量拓扑等价于流形M的原拓扑。

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