小学生趣味数学题九十一(鸡兔同笼)

2019-12-09 02:46 来源:未知
鸡兔同笼问题是一类重要的算术应用题,在现代生活中随处可见。通常在问题里既没有兔,也没有鸡,更不会把鸡和兔关进同一个笼子。为什么把它叫做鸡兔同笼呢? 这个名称,是从古

  鸡兔同笼问题是一类重要的算术应用题,在现代生活中随处可见。通常在问题里既没有兔,也没有鸡,更不会把鸡和兔关进同一个笼子。为什么把它叫做“鸡兔同笼”呢?

  这个名称,是从古时候传下来的。在中国古代数学书《孙子算经》里,有这样一个问题:

  今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雉、兔各几何?

  题目中的“雉”(读成“zhì”),就是野鸡。唐代文学家韩愈在他的文章《讳辨》里写道,“[汉]讳吕后名雉为野鸡。”汉高祖刘邦的妻子吕后的名字叫做“雉”,当时人们忌讳提到皇后的名字,就把动物“雉”叫做野鸡。

  《孙子算经》里这道题目的意思是说,现在有一些野鸡和兔子,关在同一只笼子里,从上面看,共有35个头;从下面看,共有94只脚。问有多少只野鸡、多少只兔子。

  这就是最早的鸡兔同笼问题。解答这类问题,通常用置换法。

  先暂时假定笼子里全是野鸡,那么每个头配2只脚,总数35个头,共有70只脚。

  实际上有94只脚,相差24只脚。

  拿1只野鸡换1只兔子,头数不变,脚数加2。

  要能补足24只脚,需要换进12只兔子。

  共有35只动物,除去12只兔子,还剩23只,都是野鸡。

  所以,笼中共有雉23只,兔12只。

  以上解法的思路具有普遍性,适用于解答很多同类问题。不一定是鸡和兔子,可以是任何两样不同的东西;不一定是头数和脚数,可以是另外两种和,例如总的件数和总的价钱,等等。

  在《孙子算经》原书里,用了一种别致的简便解法:

  取脚数94的一半,得47;

  用脚数之半47减去头数35,得12,这就是兔子的只数;

  再拿头数35减去兔子的只数12,得23,就是雉的只数。

  答案完全正确。道理对不对呢?

  设想笼子里所有野鸡都提起一条腿,集体表演“金鸡独立”;所有兔子都提起两条前腿,集体操练“站桩功”。

  这时,每个野鸡着地的脚数是1,等于头数;每个兔子着地的脚数是2,等于头数加1。

  大家各拿自己减半的脚数,减去自己的头数,所得的差,每个野鸡为0,每个兔子为1。

  把各自的差统统加起来,得到总脚数的一半与总头数的差,一定等于兔子的只数。

  由此可见,原书解法非常巧妙,不但适用于鸡和兔,也适用于任何其他两脚动物和四脚动物,例如仙鹤和乌龟,鸭子和老鼠,驼鸟和大象,等等。

  《孙子算经》是不是一位姓孙的人编写的?谁也说不清楚,不知道这本书的作者是谁,只知道大约成书于公元400年前后。

  早在1600年以前,中国就有了鸡兔同笼这类有趣而又实用的题型,并且提出了脚数减半的巧妙解法,可见古代人也是很喜欢妙题巧解的。


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