【分式不等式的解法】在数学学习中，分式不等式是一个常见的知识点，尤其在初中和高中阶段的代数内容中占有重要地位。分式不等式是指含有分式的不等式，其形式一般为 $\frac{A(x)}{B(x)} > 0$ 或 $\frac{A(x)}{B(x)} < 0$ 等。正确掌握分式不等式的解法，有助于提高解题效率，避免常见错误。
一、分式不等式的定义与基本思路
分式不等式是形如 $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)} < 0$ 的不等式，其中 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是关于 $x$ 的多项式函数。解这类不等式的核心思想是：将分式不等式转化为整式不等式进行求解，同时注意分母不能为零。
二、分式不等式的解法步骤
1. 确定分母不为零的条件
分母 $g(x) \neq 0$，即找出使分母为零的点，并排除这些点。
2. 将不等式变形为标准形式
将所有项移到一边，使不等式变为 $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)} < 0$ 的形式。
3. 求出分子和分母的零点
解方程 $f(x) = 0$ 和 $g(x) = 0$，得到关键点。
4. 使用数轴标根法（穿针法）分析符号变化
在数轴上标出所有关键点，然后根据各区间内分式的符号判断不等式的解集。
5. 写出最终的解集
注意是否包含端点（取决于不等号是否为“≥”或“≤”），并排除分母为零的点。
三、分式不等式解法总结（表格）
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定分母不为零的条件，即 $g(x) \neq 0$ |
| 2 | 将不等式化为标准形式 $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)} < 0$ |
| 3 | 求出分子 $f(x)$ 和分母 $g(x)$ 的零点 |
| 4 | 在数轴上标出所有关键点，分析每个区间的符号 |
| 5 | 根据不等号方向确定解集，注意排除分母为零的点 |
四、典型例题解析
例题1：解不等式 $\frac{x - 2}{x + 1} > 0$
- 分母为 $x + 1$，所以 $x \neq -1$
- 分子为 $x - 2$，零点为 $x = 2$
- 关键点：$x = -1$ 和 $x = 2$
- 数轴上分为三个区间：$(-\infty, -1)$、$(-1, 2)$、$(2, +\infty)$
- 符号分析：
- $(-\infty, -1)$：正 / 负 = 负 → 不满足
- $(-1, 2)$：正 / 正 = 正 → 满足
- $(2, +\infty)$：正 / 正 = 正 → 满足
- 最终解集：$(-1, 2)$
例题2：解不等式 $\frac{x^2 - 4}{x - 3} \leq 0$
- 分母为 $x - 3$，所以 $x \neq 3$
- 分子为 $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$，零点为 $x = -2$、$x = 2$
- 关键点：$x = -2$、$x = 2$、$x = 3$
- 区间分析：
- $(-\infty, -2)$：负 / 负 = 正 → 不满足
- $(-2, 2)$：正 / 负 = 负 → 满足
- $(2, 3)$：正 / 正 = 正 → 不满足
- $(3, +\infty)$：正 / 正 = 正 → 不满足
- 最终解集：$[-2, 2]$
五、注意事项
- 分式不等式必须注意分母不为零。
- 使用数轴标根法时，奇数次穿根，偶数次不穿根。
- 若不等号含“等于”，需考虑分子为零的情况，但不能包含分母为零的点。
通过以上方法，可以系统地解决各类分式不等式问题，提高解题准确率和效率。建议多做练习题，熟练掌握各种类型的分式不等式解法。