【高中数学必修四立体几何所有公式】在高中数学课程中，立体几何是必修四的重要组成部分，主要研究空间中点、线、面之间的位置关系以及几何体的性质与计算。掌握相关公式对于解决立体几何问题至关重要。以下是对高中数学必修四立体几何中常用公式的总结，便于复习和查阅。
一、基本概念与公式
| 概念 | 公式 | 说明 | ||||
| 点到平面的距离 | $ d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D | }{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $ | 平面方程为 $ Ax + By + Cz + D = 0 $，点 $ (x_0, y_0, z_0) $ 到该平面的距离 | ||
| 两平行平面间的距离 | $ d = \frac{ | D_1 - D_2 | }{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $ | 平面方程分别为 $ Ax + By + Cz + D_1 = 0 $ 和 $ Ax + By + Cz + D_2 = 0 $ | ||
| 两点间距离公式 | $ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $ | 空间中两点 $ A(x_1, y_1, z_1) $、$ B(x_2, y_2, z_2) $ 的距离 | ||||
| 向量模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $ | 向量 $ \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) $ 的长度 | ||
| 向量夹角余弦值 | $ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | } $ | 向量 $ \vec{a} $ 与 $ \vec{b} $ 的夹角余弦值 |
二、空间几何体体积与表面积公式
| 几何体 | 体积公式 | 表面积公式 | 说明 |
| 长方体 | $ V = abc $ | $ S = 2(ab + bc + ac) $ | $ a, b, c $ 分别为长宽高 |
| 正方体 | $ V = a^3 $ | $ S = 6a^2 $ | 边长为 $ a $ |
| 圆柱体 | $ V = \pi r^2 h $ | $ S = 2\pi r(r + h) $ | $ r $ 为底面半径，$ h $ 为高 |
| 圆锥体 | $ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $ | $ S = \pi r(r + l) $ | $ l $ 为母线长 |
| 球体 | $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $ | $ S = 4\pi r^2 $ | $ r $ 为半径 |
| 棱柱 | $ V = S_{底} \cdot h $ | $ S = S_{侧} + 2S_{底} $ | $ S_{底} $ 为底面积，$ h $ 为高 |
| 棱锥 | $ V = \frac{1}{3}S_{底} \cdot h $ | $ S = S_{侧} + S_{底} $ | $ S_{底} $ 为底面积，$ h $ 为高 |
三、空间直线与平面的关系
| 关系 | 公式/条件 | 说明 |
| 直线与平面垂直 | 若直线方向向量 $ \vec{v} $ 与平面法向量 $ \vec{n} $ 平行，则直线垂直于平面 | |
| 直线与平面平行 | 若直线方向向量 $ \vec{v} $ 与平面法向量 $ \vec{n} $ 垂直，则直线与平面平行 | |
| 两直线异面 | 若两直线既不相交也不平行，则为异面直线 | |
| 两直线垂直 | 若两直线方向向量点积为零，则两直线垂直 |
四、空间向量运算
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 向量加法 | $ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z) $ | 向量相加 |
| 向量减法 | $ \vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z) $ | 向量相减 |
| 向量数量积（点积） | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z $ | 又称点积或内积 |
| 向量向量积（叉积） | $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_yb_z - a_zb_y, a_zb_x - a_xb_z, a_xb_y - a_yb_x) $ | 叉积结果为垂直于两向量的向量 |
五、常见几何体的截面与投影
| 几何体 | 截面形状 | 投影形状 | 说明 |
| 正方体 | 正方形、矩形、三角形等 | 正方形、矩形等 | 根据截面角度不同而变化 |
| 圆柱体 | 圆形、矩形、椭圆形 | 矩形、圆形等 | 根据截面方向不同而变化 |
| 圆锥体 | 圆形、椭圆形、抛物线形、双曲线形 | 圆形、椭圆形等 | 根据截面角度不同而变化 |
| 球体 | 圆形 | 圆形 | 无论从哪个方向截取，截面都是圆 |
通过以上对高中数学必修四立体几何中常用公式的整理，可以系统地掌握空间几何的基本知识，帮助学生更好地理解和应用立体几何的相关内容。建议在学习过程中结合图形进行理解，并通过练习题加深记忆和应用能力。