【函数求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数求导公式，有助于快速解决数学、物理、工程等领域的实际问题。以下是对常见函数求导公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本初等函数的导数
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数 |
| 常数函数 | $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| 幂函数 | $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = n x^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| 自然指数函数 | $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 自然对数函数 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 三角函数 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| 三角函数 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| 三角函数 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| 三角函数 | $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| 反三角函数 | $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| 反三角函数 | $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
二、导数的基本运算法则
除了上述基本函数的导数外，还需要掌握一些导数的运算规则，以便处理复合函数和复杂表达式：
| 法则名称 | 公式 |
| 常数倍法则 | $ [Cf(x)]' = C f'(x) $ |
| 加法法则 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ |
| 减法法则 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ |
| 乘积法则 | $ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、常见复合函数的导数
对于由多个函数组合而成的复合函数，使用链式法则可以有效求导：
| 复合函数示例 | 导数 |
| $ f(x) = \sin(2x) $ | $ f'(x) = 2\cos(2x) $ |
| $ f(x) = (x^2 + 1)^3 $ | $ f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $ |
| $ f(x) = e^{3x} $ | $ f'(x) = 3e^{3x} $ |
| $ f(x) = \ln(\sin x) $ | $ f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x $ |
| $ f(x) = \arctan(x^2) $ | $ f'(x) = \frac{2x}{1 + x^4} $ |
四、小结
函数求导是微积分的核心内容之一，熟练掌握各类函数的导数公式及运算规则，能够提高解题效率并加深对函数性质的理解。通过不断练习和应用，可以更灵活地应对各种数学问题。
建议在学习过程中结合具体例题进行练习，以巩固记忆并提升应用能力。