【分式的导数】在微积分中，分式的导数是一个常见的问题，尤其在求解函数的导数时，常常会遇到分子和分母都是关于自变量的函数的情况。掌握分式的导数方法，有助于更高效地进行数学分析与实际应用。
一、分式导数的基本公式
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式也被称为“商法则”（Quotient Rule），是求分式导数的核心工具。
二、常见分式导数实例
以下是一些常见分式函数及其导数的例子，便于理解和记忆：
| 原函数 $ f(x) $ | 导数 $ f'(x) $ |
| $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ |
| $ \frac{x}{x+1} $ | $ \frac{1}{(x+1)^2} $ |
| $ \frac{x^2}{x-3} $ | $ \frac{2x(x-3) - x^2}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x}{(x-3)^2} $ |
| $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x $ |
| $ \frac{e^x}{x} $ | $ \frac{e^x \cdot x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2} $ |
三、使用技巧与注意事项
1. 先化简再求导：如果分式可以简化（如约分），应优先化简后再应用商法则，以减少计算量。
2. 注意分母不为零：在使用商法则时，必须确保分母 $ v(x) \neq 0 $，否则导数无意义。
3. 结合链式法则：当分子或分母本身是复合函数时，需结合链式法则一起使用。
4. 检查结果是否合理：可以通过代入数值验证导数是否正确，例如将 $ x=1 $ 代入原函数和导数，观察变化趋势是否一致。
四、总结
分式的导数是微积分中的基本内容之一，掌握商法则并灵活运用，能够帮助我们快速准确地解决各种分式函数的求导问题。通过练习不同类型的分式函数，可以进一步提高对导数的理解和应用能力。